Кунев является воспитанником кременчугского «Кремня». В чемпионате ДЮФЛ провел 66 матчей, забил 26 голов. На профессиональном уровне дебютировал в матче второй лиги против ФК «Феникс-Ильичевец», который состоялся 28 апреля 2007 года.
Летом 2009 года Роман перешел в «Ворсклу». Выступал за молодежную команду полтавского клуба, а затем на правах аренды вернулся в «Кремень». В марте прошлого года Кунев дебютировал в Премьер-лиге, выйдя на замену в матче против донецкого «Шахтера». Всего в элите провел 4 поединка.
Летом 2013-го года форвард снова вернулся в «Кремень», в котором и провел первую часть нынешнего сезона. В тринадцати матчах второй лиги Кунев забил один гол. Всего за «Кремень» в чемпионатах Украины сыграл 112 матчей и забил 22 мяча.
